MERUMUSKAN SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL GERAK ORBIT PLANET

Telah diketahui bahwa persamaan diferensial orbit planet adalah

Kita dapat menyelesaikan persamaan diferensial ini. Anggap bahwa solusinya, u merupakan hasil dari superposisi solusi umum dan partikular, atau

di mana uc merupakan solusi umum dan up merupakan solusi partikular. Sekarang kita gunakan substitusi D = d/dt sehingga persamaan diferensial orbit tersebut dapat ditulis ulang menjadi

Dari persamaan di atas kita memperoleh persamaan untuk memperoleh solusi umum (uc) ,

dan persamaan untuk memperoleh solusi khusus (up) ,

Sekarang kita tentukan terlebih dahulu solusi umumnya, karena lebih mudah. Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat D^2 + 1 menggunakan rumus

 

Kita memperoleh D = i dan D = -i. Dengan demikian

Kita ambil faktor D + i , sehingga diperoleh

Dengan teknik separasi variabel, maka persamaannya menjadi

Dengan mengintegralkan kedua ruas, maka diperoleh

Dengan mengambil bagian real dari uc kita mendapatkan

Setelah memperoleh solusi umum (up), Selanjutnya kita menentukan solusi partikularnya. Dengan cara yang sama seperti sebelumnya, kita peroleh

Untuk menyelesaikan persoalan di atas, kita hanya perlu melihat persamaannya. Dari persamaan di atas kita bisa langsung memperoleh hasilnya yaitu :

Karena penyelesaian u merupakan jumlah u_c dan u_p maka diperoleh :