PENYELESAIAN SOAL-SOAL TENTANG GERAK DENGAN PENDEKATAN LAGRANGIAN DAN HAMILTONIAN

Selamat malem guys, gue mau ngeshare lagi nih soal-soal tentang fisika, buat elo nih yang ngakunya "Cinta Fisika" Lo harus baca ini dan coba dipahami. Mudah-mudah jadi refernsi buat belajar lo nih. Oke soal disini gw ambil dari buku Analytical Mechanics Penulisnya Fowles dan Cassiday. Menurut gw soal ini keren, kenapa?? karena soal yang gue ambil adalah soal yang GAK ADA ANGKA sama sekali, tapi jawabannya panjang banget, makanya seru buat diselesaikan. Oke langsung aja ke soal dan pembahasan !

1.  Sebuah benda mengalami gerak jatuh bebas. Tentukakanlah persamaa Lagrangiannya, momentum umumnya, gaya umumnya dan persamaan geraknya !

      Penyelesaian :

Sebelum kita menyelesaikan soal di atas, kita gambarkan dulu terlebih dahulu koordinat yang ingin  kita gunakan. Gambar di bawah ini adalah gambaran umum dari beda yang mengalami jatuh bebas.

Dari gambar di atas mari kita tentukan constrain terlebih dahulu pada sistem di atas. Constrain yang terdapat pada sistem tersebut adalah arah sumbu x dan arah sumbu z yaitu yang besarnya sama dengan nol.

Dan sistem tersebut hanya memiliki satu derajat kebebasan yaitu x. Mari kita tentukan :

a. Persamaan Lagrangenya :       

          Dari sistem di atas diperoleh energy kinetic benda yaitu :

          Untuk energy potensialnya adalah :

          Maka persamaan Lagrangiannya adalah :

     b. Momentum umumnya :

     c. Gaya umumnya :

      d. Persamaan geraknya :

          

2. Sebuah benda mengalami  gerak peluru. Tentukan Persamaan Lagrangiannya, momentum umumnya, gaya umumnya dan Persamaan geraknya !

    Penyelesaian :
 
Sebelum kita menyelesaikan soal di atas, mari kita tentukan terlebih dahulu koordinat yang ingin kitagunakan. Koordinat tersebut kita gambarkan sebagi berikut
   

   

Dari gambar di atas, constrain yang diberikan sistem hanya satu yaitu sumbu z = 0. Derajat kebebasan pada sistem tersebut adalah sumbu x dan y. Sehingga dapat kita tentukan energy kinetic dan energy potensial sistem yaitu :

(catatan : Pada sumbu x benda tidak memiliki energy potensial)

Sehingga dapat ditentukan :

a.       Persamaan Lagrangiannya :

b.     Momentum umumnya : 

c.  Gaya umumnya :

d.  Persamaan Geraknya :

3.   Carilah persamaan Hamilton canomic untuk kasus :

     a.       Pendulum Sederhana

     b.      Pesawat Atwood

 

     Penyelesaian :

a.       Pendulum Sederhana

      Gerak pada pendulum dapat digambarkan sebagai berikut

  

     Untuk menyelesaikan persamaan Hamiltonian dari sistem di atas, terlebih dahulu kita cari persamaan Lagrange nya. Persamaan Lagrange tersebut adalah :

Energi kinetic pada sistem dapat diperoleh dengan melihat gambar di atas. Dari gambar di atas kita peroleh bahwa :

     Sehingga :       

 

    Untuk energy Potensialnya adalah :

    Setelah itu dimasukkan ke dalam persamaan, menjadi :

   Karena pada mekanika Hamiltonian harus terdapat komponen momentumnya, maka untuk memperoleh komponen tersebut kita turunkan persamaan berikut.

     Sehingga diperoleh persamaan Hamiltoniannya menjadi

     Menurut persamaan gerak Hamilton canonic yaitu

    Sehingga jika kita subtitusi persamaan di atas, diperoleh persamaan geraknya yaitu :

b.       Pesawat Atwood 

      Sistem pada pesawat Atwood dapat dilihat pada gambar dibawah ini

   Untuk memperoleh persamaan Hamiltonian, terlebih dahulu kita tentukan dulu persamaan Lagrangenya. Untuk memperoleh persamaan Lagrangenya kita tentukan dulu constrain yang ada pada sistem tersebut. Constrain yang terdapat pada sistem tersebut ada 5, yaitu : 4 di antaranya adalah arah sumbu x dan z pada m1 dan m2 yang mana pada sumbu tersebut bernilai nol. Contrain yang selanjutnya adalah panjang tali menghubungkan kedua beban tersebut. Sehingga bisa kita list constrain tersebut sebagai berikut.

     Derajat kebebasan pada sistem ini hanya satu yaitu sumbu y. Sehingga diperoleh energy kinetic dan energy potensial sebagai berikut.

     Sehingga persamaan Lagrangiannya adalah

    Karena untuk memperoleh persamaan Hamiltonian kita membutuhkan komponen momentumnya, maka Persamaan Lagrange di atas kita ubah hitung dengan persamaan :

     Setelah itu diperoleh persamaan Hamiltoniannya sebagai berikut.

     Maka persamaan gerak Hamilton canonicnya yaitu :

    Jika kedua persamaan di atas disubtitusi maka diperoleh persamaan gerak dari sistem tersebut yaitu :