PERUMUSAN VOLUME DAN MOMEN INERSIA PADA TABUNG DAN BOLA

Selamat malem teman-teman semua, gw dulu waktu sekolah SMP, pernah belajar yang namanya bangun datar dan bangun ruang yang tentunya kita dikasih materi tentang rumus-rumus seperti rumus luas dan volume. Seperti contohnya pada tabung dan bola, masih inget rumus luas dan volumenya? ingetlah yaa, nahh pertanyaan gw dulu kok bisa gitu menghitung luas dan volume pada bola, okelah kalo untuk tabung masih mudah karena tabung terdiri dari 2 buah lingkaran yang dihubungkan dengan persegi panjang sehingga untuk mencari luas dan volume cukup mudah, nahh kalo pada bola gimana hayoo?? Apalagi ketika SMA kita belajar yang namanya momen inersia pada pelajaran fisika, yang kita tahu MOMEN INERSIA itu seberapa kuat suatu benda dapat mempertahankan posisinya biasanya putarannya. Nah yang aneh setiap benda itu memiliki momen inersia yang berbeda-beda. Nah kok bisa ya?? sebenernya apa sih yang menyebabkan momen inersia suatu benda itu berbeda-beda. NAhh disini akan dibahas tentang itu semua khusunya untuk tabung dan bola. Mari lihat penjelasannya :

Volume Tabung

Untuk merumuskan volume tabung, kita tinjau terlebih dahulu tentang koordinat tabung dan elemen volumenya, seperti pada gambar berikut.

Andaikan anda ambil sebuah elemen kecil dV dari tabung tersebut yang bentuknya seperti pada gambar di atas, anda akan mengetahui bahwa sesuai dengan konsep volume:

 
Jika elemen tersebut berukuran kecil sekali, maka dapat dituliskan:

Kita memperoleh elemen volume tabung dV, yaitu:

Sekarang kita dapat merumuskan volume tabung. Bayangkan bahwa jari-jari tabung adalah r = 0 -> R yang diputar terhadap sumbu z sebanyak teta = 0 menuju 2 phi atau satu putaran penuh, dan tinggi tabung tersebut sebesar h. Parameter-parameter tersebut tidak lain adalah batas-batas pengintegralan yang akan kita terapkan. Volume tabung tersebut tidak lain adalah:

Dengan memasukkan batas-batas yang kita tentukan sebelumnya:

Agar lebih mudah, pisahkan masing-masing integral dan integralkan seperti biasa menjadi:

Nahh terbukti bukan?

Setelah terbukti besar volume pada sebuah tabung maka kita dapat menentukan besar momen inersia pada tabung yang diputar melalui sumbu pusatnya. Ilustrasi pada gambar tersebut adalah sebagai berikut.

Dari gambar tersebut dapat kita lihat bahwa besar perubahan volume dari silinder pejal (tabung) adalah sebagai berikut

Sehingga perubahan massa dari silinder pejal tersebut adalah

Sehingga diperoleh momen inersia dari benda tersebut adalah

Sama seperti rumus yang anda jumpai di SMA, bukan?

Volume Bola

Sekarang kita akan merumuskan volume bola dengan konsep yang sama, yaitu menentukan elemen volume bola terlebih dahulu.

Pisahkan masing-masing integral dan integralkan:

Terbukti bukan?

Setelah kita mengetahui volume bola pejal, kita dapat menentukan momen inersia pada bola pejal dan bola berongga yang diputar melalui titik pusatnya. Sebelum kita menentukan formulasinya, mari kita ilustrasikan dengan sebuah gambar.

1.      Bola Pejal

Bola pejal di ilustrasikan seperti gambar berikut

Sebelumnya telah dibahas mengenai volume suatu bola, maka akan kita gunakan kembali dalam membuktikan rumus momen inersia pada bola pejal. Perubahan volume dinyatakan sebagai (lihat gambar b)

Mengapa demikian? Karena kita tahu bahwa volume merupakan luas alas dikalikan dengan tinggi. Kalau dilihat pada gambar (b) kita maka perubahan volume adalah demikian. Selanjutnya adalah menntukan Perubahan massa. Kita tahu bahwa massa merupakan massa jenis dikalikan dengan satuan volume/luas/panjang, bergantung pada suatu benda tersebut. Sehingga diperoleh :

 

 

    Dari sini kita memperoleh besar masssa jenisnya, yaitu :

Selanjutnya adalah mencari besar momen inersia, yaitu :

     r merupakan jari-jari pada bola yang jika dilihat pada gambar (b) besarnya adalah 

Dari nilai x dan y tersebut kita dapat menentukan besar r nya

Maka momen inersianya adalah :

 

Terbukti bukan??

2.      Bola Berongga

Sama seperti sebelumnya kita akan mengilustrasikan benda tersebut dengan gambar di bawah ini

 

Untuk menyelesaikan momen inersia pada bola berongga ini sama dengan sebelumnya, namun untuk bola berongga besar massa jenis nya adalah massa per satuan luas, (mengapa memakai satuan luas bukan volume?) hal ini dikarenakan bola berongga, yang berarti didalam bola adalah kosong, sehingga yang dihitung adalah luas permukaannya. Besar luas permukaannya bisa kita lihat pada gambar (b). Kita tahu bahwa luas merupakan panjang dikalikan dengan lebar, maka besar perubahan luas pada bola adalah panjang dikalikan dengan lebar, yaitu :

     Sehingga besar  massa bola adalah adalah

Sehingga besar massa jenis bola  adalah

Selanjutnya adalah menghitung besar momen inersianya dengan cara yang sama pada bola pejal yaitu :

Oleh :

Muhamad Wahyudi Saputra dan Reyhan Issatyadi Darmawan

(Jurusan Fisika FMIPA Universitas Lampung)

Nahh itu dia pembuktian volume dan momen inersia pada tabung dan bola dengan menggunakan integral lipat, kalian dapat mencoba cara yang sama untuk membuktikan volume dan momen inersia pada benda yang lainnya. Nanti akan saya bahas lagi momen inersia untuk benda yang lainnya di pos an selanjutnya.

Oke semoga bermanfaat, salam semart !